jueves, 31 de enero de 2019

LA GUERRA DEL CÁLCULO, LEIBNIZ Y NEWTON


Nos guste o no, la guerra ha sido siempre uno de los principales motores para el progreso de la humanidad. La gran mayoría de vosotros sabéis que la energía nuclear no se investigó para generar ingentes y relativamente limpias cantidades de energía para nuestro progreso, sino para crear unos artefactos que devastarían la ciudad de Hiroshima primero y Nagasaki después. Muchos de vosotros sí sabéis que internet fue el resultado de un experimento de telecomunicaciones que el ejército estadounidense realizó en los años 70, así como el sistema de posicionamiento global, más conocido como GPS. Seguramente solo algunos de vosotros sabréis que el origen de la carrera espacial no era poner un pie en la Luna; más bien la idea original fue controlar la estratosfera a nivel balístico, o dicho de otra manera, ser capaces de lanzar misiles a la otra punta del planeta sin que el enemigo pudiera reaccionar a tiempo. Pero posiblemente, el ejemplo más desconocido lo tengamos en la invención de la potente herramienta matemática que es el cálculo infinitesimal, que, aunque hoy en día está atribuido por igual a Gottfried Wilhelm Von Leibniz (del que ya hicimos una introducción en el artículo anterior) y a Sir Isaac Newton, tiene una historia que abarca casi dos mil años.



            Leibniz dijo: “Quien comprenda a Arquímedes, admirará menos a los hombres más ilustres de su tiempo”. Y es que cualquier curso universitario de introducción al cálculo infinitesimal empieza por analizar sus trabajos. Si aquel soldado romano no lo hubiera matado cuando entraron a conquistar la ciudad de Siracusa en el 212 a.C., el propio Arquímedes lo habría desarrollado. Pero os contaré primero qué es el cálculo y para qué sirve. Desde la época egipcia uno de los grandes problemas fue el cálculo de áreas. Son fáciles de calcular con superficies delimitadas por líneas rectas puesto que pueden reducirse a triángulos, y tras un arduo trabajo de sumas se obtiene el resultado final. El problema se agrava cuando la superficie está compuesta por líneas curvas, ya que quedan huecos entre los bordes y los triángulos internos. Desde luego pueden rellenarse con triángulos cada vez más pequeños que aumentarán la precisión de la medida, pero nunca llegará a ser exacta. A lo largo de los siglos y con el progreso de la humanidad, surgieron otros tres problemas que generaron la necesidad de una nueva herramienta: calcular la tangente en un punto de una curva cualquiera, convertir curvas en rectas y conocer el valor instantáneo de una función variable. Este último es el tema con el que hemos iniciado el artículo, y es que, tras el desarrollo de las armas de asedio en la alta edad media, se hacia imperiosa la necesidad de conocer con precisión las trayectorias de los proyectiles. Se inició así el lento cambio que nos llevó de la física aristotélica a la actual.

            Casi todos los científicos del S. XVII contribuyeron al desarrollo del cálculo infinitesimal, pero se puede establecer un inicio claro en el S. XVI con gigantes como Descartes, Fermat y Kepler. Descartes y Fermat son conocidos por la gran contribución que realizaron creando la geometría analítica (transformar curvas geométricas en su expresión algebraica) y Johannes Kepler por descubrir que las órbitas planetarias eran elípticas en vez de circulares. Kepler era un matemático portentoso y estuvo a punto de descubrir el cálculo por sí mismo, de hecho, la creación del cálculo infinitesimal por parte de Newton y Leibniz fue en realidad la resolución del problema de Kepler: ¿En qué manera cambiaba a cada instante la trayectoria de los planetas? Por otro lado, Galileo también aportó su enorme “grano de arena” creando el campo de la mecánica, que estudia el movimiento de los cuerpos. Galileo estudió por qué las trayectorias de los proyectiles son parábolas, estableciendo así una relación directa, mediante las curvas cónicas, con los estudios de Kepler. Ya solo quedaba descubrir si la fuerza misteriosa que convertía las trayectorias en parábolas era la misma que convertía las órbitas en elipses. Entraron así en juego en el siguiente siglo grandes como Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo, que propuso que todas las figuras estaban formadas por indivisibles que llenaban su área. De aquí surgió el famoso principio de Cavalieri de equivalencia entre áreas que no comentaremos ahora. Fermat, Torricelli, Pascal o Gilles Roberval, en incluso el propio Leibniz, continuaron por esta línea. Otros gigantes como John Wallis e Isaac Barrow (profesor de Newton) se acercaron tanto a la definición estricta de cálculo infinitesimal que pusieron la alfombra por la que Newton y Leibniz entraron en la historia.

            Y se inició la guerra. Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania, reclamaban la autoría del cálculo. Ambos llegaron al mismo punto por caminos totalmente diferentes. Si bien Newton desarrolló lo que hoy se conoce como derivadas, Leibniz creó el cálculo integral. Ambas son operaciones contrarias y definen el teorema fundamental del cálculo, dando así solución a todos los problemas relacionados con curvas que habían surgido hasta la fecha (y a muchos otros que surgieron después). Tras años de disputa, Gottfried Leibniz acudió a la Royal Society para que investigaran y concluyeran quién había sido el creador del cálculo. Desconocía que Newton había sido nombrado presidente de la misma. Newton inició así una gran campaña de calumnias y desacreditación de Leibniz sin mucho éxito, pues Leibniz era toda una autoridad cultural en Europa. Con ellos, el cálculo se convirtió en una ciencia independiente, que trabajaba con conceptos algebraicos, lo que permitía plantear un método que sirviera para cualquier tipo de función o problema. Una vez fundamentadas las bases, los hermanos Bernoulli le dieron una estructura sólida, utilizando el método de nomenclatura de Leibniz. El propio Leibniz alabó el gran trabajo realizado por ambos.

            A día de hoy trabajamos con la notación de Leibniz, mucho más clara y completa, y no cabe ya ninguna duda sobre la autoría. Newton es considerado el primero en desarrollarlo, conclusión a la que se llegó tras investigar la numerosa correspondencia en la que hablaba del tema, pero Leibniz fue sin duda el primero en publicarlo. De ahí la famosa frase de Newton: “los segundos inventores no cuentan para nada”.

            No fueron éstas las únicas contribuciones a las matemáticas de Gottfried Wilhelm Leibniz. Desarrolló también un método para calcular series infinitas cuyos límites o resultados eran números finitos, resultados que comunicó a otro gran científico en la corte de París llamado Christiaan Huygens y que presentó también en la Royal Society. También creó, basado en el I Ching o libro de las mutaciones, un sistema que se convertiría en la base del mundo moderno, un sistema basado en su filosofía de mónadas rescatada del atomismo griego y que está a caballo entre el lenguaje y las matemáticas más elementales. El código binario. Pero de eso hablaremos en otro artículo.

Rubén Blasco – Agrupación Astronómica de Huesca

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